解決4x^2+12x+19=0 |Microsoft數學求解器

$$4 x ^ { 2 } + 12 x + 19 = 0$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}\approx -1.5+1.58113883i$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}\approx -1.5-1.58113883i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4x^{2}+12x+19=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 12 代入 b，以及將 19 代入 c。

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

對 12 平方。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 19}}{2\times 4}$$

-16 乘上 19。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-304}}{2\times 4}$$

將 144 加到 -304。

$$x=\frac{-12±\sqrt{-160}}{2\times 4}$$

取 -160 的平方根。

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8}。 將 -12 加到 4i\sqrt{10}。

$$x=\frac{-12+4\sqrt{10}i}{8}$$

-12+4i\sqrt{10} 除以 8。

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8}。 從 -12 減去 4i\sqrt{10}。

$$x=\frac{-4\sqrt{10}i-12}{8}$$

-12-4i\sqrt{10} 除以 8。

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$4x^{2}+12x+19=0$$

從方程式兩邊減去 19。

$$4x^{2}+12x+19-19=-19$$

從 19 減去本身會剩下 0。

$$4x^{2}+12x=-19$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=-\frac{19}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=-\frac{19}{4}$$

12 除以 4。

$$x^{2}+3x=-\frac{19}{4}$$

將 3 (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{3}{2}。接著，將 \frac{3}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

\frac{3}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-19+9}{4}$$

將 -\frac{19}{4} 與 \frac{9}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{2}$$

因數分解 x^{2}+3x+\frac{9}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{2}}$$

化簡。

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{10}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{10}i}{2}$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{2}。

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$