解決3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16 |Microsoft數學求解器

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

因式分解

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

解題步驟

相乘，並合併同類項。

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

若要對運算式進行因數分解，當運算式等於 0 時，即可解出方程式。

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

根據有理根定理，多項式的所有有理根其形式為 \frac{p}{q}，其中 p 除以常數項 -16，而 q 除以前置係數 3。 列出所有的候選 \frac{p}{q}。

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

從最小的絕對值開始，嘗試所有的整數值以找出此類的根。如果找不到整數根，請試試使用分數。

$$x=-4$$

根據因式定理，x-k 是每個根為 k 之多項式的因式。 將 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 除以 x+4 以得到 3x^{3}+12x^{2}-x-4。 若要對結果進行因式分解，當結果等於 0 時，即可解出方程式。

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

根據有理根定理，多項式的所有有理根其形式為 \frac{p}{q}，其中 p 除以常數項 -4，而 q 除以前置係數 3。 列出所有的候選 \frac{p}{q}。

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

從最小的絕對值開始，嘗試所有的整數值以找出此類的根。如果找不到整數根，請試試使用分數。

$$x=-4$$

根據因式定理，x-k 是每個根為 k 之多項式的因式。 將 3x^{3}+12x^{2}-x-4 除以 x+4 以得到 3x^{2}-1。 若要對結果進行因式分解，當結果等於 0 時，即可解出方程式。

$$3x^{2}-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式可以使用二次方公式解出: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。在二次方公式中以 3 取代 a、以 0 取代 b 並以 -1 取 c。

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

計算。

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

當 ± 為加號與 ± 為減號時解方程式 3x^{2}-1=0。

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

使用取得的根，重寫因數分解過後的運算式。 因為多項式 3x^{2}-1 沒有任何有理根，所以無法進行因數分解。

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

評估

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

解題步驟

合併 48x^{2} 和 -x^{2} 以取得 47x^{2}。

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$