解決3x^2-2x-1=0 |Microsoft數學求解器

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

解 x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=1$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 3x^{2}+ax+bx-1。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 唯一的此類組合為系統解。

$$a=-3 b=1$$

將 3x^{2}-2x-1 重寫為 \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)。

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

因式分解 3x^{2}-3x 中的 3x。

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

使用分配律來因式分解常用項 x-1。

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-1=0 並 3x+1=0。

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3x^{2}-2x-1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 -2 代入 b，以及將 -1 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

對 -2 平方。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-12 乘上 -1。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

將 4 加到 12。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

取 16 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

-2 的相反數是 2。

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$x=\frac{2±4}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{2±4}{6}。 將 2 加到 4。

$$x=\frac{6}{6}$$

6 除以 6。

$$x=1$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{2±4}{6}。 從 2 減去 4。

$$x=-\frac{2}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-2}{6} 約分至最低項。

$$x=-\frac{1}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3x^{2}-2x-1=0$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

從 -1 減去本身會剩下 0。

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

從 0 減去 -1。

$$3x^{2}-2x=1$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

將 -\frac{2}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{3}。接著，將 -\frac{1}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

-\frac{1}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

將 \frac{1}{3} 與 \frac{1}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

因數分解 x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

將 \frac{1}{3} 加到方程式的兩邊。

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$