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解 v
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3v^{2}-21v+34=0
所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解,一個是在 ± 中使用加法,另一個是使用減法。
v=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 3\times 34}}{2\times 3}
此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},將 3 代入 a,將 -21 代入 b,以及將 34 代入 c。
v=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 3\times 34}}{2\times 3}
對 -21 平方。
v=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-12\times 34}}{2\times 3}
-4 乘上 3。
v=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-408}}{2\times 3}
-12 乘上 34。
v=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{33}}{2\times 3}
將 441 加到 -408。
v=\frac{21±\sqrt{33}}{2\times 3}
-21 的相反數是 21。
v=\frac{21±\sqrt{33}}{6}
2 乘上 3。
v=\frac{\sqrt{33}+21}{6}
現在解出 ± 為正號時的方程式 v=\frac{21±\sqrt{33}}{6}。 將 21 加到 \sqrt{33}。
v=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{7}{2}
21+\sqrt{33} 除以 6。
v=\frac{21-\sqrt{33}}{6}
現在解出 ± 為負號時的方程式 v=\frac{21±\sqrt{33}}{6}。 從 21 減去 \sqrt{33}。
v=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{7}{2}
21-\sqrt{33} 除以 6。
v=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{7}{2} v=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{7}{2}
現已成功解出方程式。
3v^{2}-21v+34=0
與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方,首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。
3v^{2}-21v+34-34=-34
從方程式兩邊減去 34。
3v^{2}-21v=-34
從 34 減去本身會剩下 0。
\frac{3v^{2}-21v}{3}=-\frac{34}{3}
將兩邊同時除以 3。
v^{2}+\left(-\frac{21}{3}\right)v=-\frac{34}{3}
除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。
v^{2}-7v=-\frac{34}{3}
-21 除以 3。
v^{2}-7v+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{34}{3}+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}
將 -7 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{7}{2}。接著,將 -\frac{7}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。
v^{2}-7v+\frac{49}{4}=-\frac{34}{3}+\frac{49}{4}
-\frac{7}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。
v^{2}-7v+\frac{49}{4}=\frac{11}{12}
將 -\frac{34}{3} 與 \frac{49}{4} 相加的算法: 先通分,接著相加分子,然後將分式化為最簡分式。
\left(v-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}
因數分解 v^{2}-7v+\frac{49}{4}。一般而言,當 x^{2}+bx+c 是完全平方時,一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。
\sqrt{\left(v-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}
取方程式兩邊的平方根。
v-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} v-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}
化簡。
v=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{7}{2} v=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{7}{2}
將 \frac{7}{2} 加到方程式的兩邊。