解決3t^2-7t=1 |Microsoft數學求解器

$$3 t ^ { 2 } - 7 t = 1$$

解 t

$$t = \frac{\sqrt{61} + 7}{6} \approx 2.468374946$$

$$t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}\approx -0.135041613$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3t^{2}-7t=1$$

從方程式兩邊減去 1。

$$3t^{2}-7t-1=1-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$3t^{2}-7t-1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 -7 代入 b，以及將 -1 代入 c。

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

對 -7 平方。

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-12 乘上 -1。

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+12}}{2\times 3}$$

將 49 加到 12。

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

-7 的相反數是 7。

$$t=\frac{7±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$t=\frac{7±\sqrt{61}}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 t=\frac{7±\sqrt{61}}{6}。 將 7 加到 \sqrt{61}。

$$t=\frac{\sqrt{61}+7}{6}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 t=\frac{7±\sqrt{61}}{6}。 從 7 減去 \sqrt{61}。

$$t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$

現已成功解出方程式。

$$t=\frac{\sqrt{61}+7}{6} t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3t^{2}-7t=1$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3t^{2}-7t}{3}=\frac{1}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$t^{2}-\frac{7}{3}t=\frac{1}{3}$$

將 -\frac{7}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{7}{6}。接著，將 -\frac{7}{6} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$t^{2}-\frac{7}{3}t+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

-\frac{7}{6} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$t^{2}-\frac{7}{3}t+\frac{49}{36}=\frac{1}{3}+\frac{49}{36}$$

將 \frac{1}{3} 與 \frac{49}{36} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$t^{2}-\frac{7}{3}t+\frac{49}{36}=\frac{61}{36}$$

因數分解 t^{2}-\frac{7}{3}t+\frac{49}{36}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

化簡。

$$t-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} t-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

將 \frac{7}{6} 加到方程式的兩邊。

$$t=\frac{\sqrt{61}+7}{6} t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$