解決3q^2+q-14=0 |Microsoft數學求解器

$$3 q ^ { 2 } + q - 14 = 0$$

解 q

$$q = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

$$q=2$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 3q^{2}+aq+bq-14。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=1 ab=3\left(-14\right)=-42$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -42 的所有此類整數組合。

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

計算每個組合的總和。

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

該解的總和為 1。

$$a=-6 b=7$$

將 3q^{2}+q-14 重寫為 \left(3q^{2}-6q\right)+\left(7q-14\right)。

$$\left(3q^{2}-6q\right)+\left(7q-14\right)$$

在第一個組因式分解是 3q，且第二個組是 7。

$$3q\left(q-2\right)+7\left(q-2\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 q-2。

$$\left(q-2\right)\left(3q+7\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 q-2=0 並 3q+7=0。

$$q=2 q=-\frac{7}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3q^{2}+q-14=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 1 代入 b，以及將 -14 代入 c。

$$q=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

對 1 平方。

$$q=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$q=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

-12 乘上 -14。

$$q=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 3}$$

將 1 加到 168。

$$q=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

取 169 的平方根。

$$q=\frac{-1±13}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$q=\frac{-1±13}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 q=\frac{-1±13}{6}。 將 -1 加到 13。

$$q=\frac{12}{6}$$

12 除以 6。

$$q=2$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 q=\frac{-1±13}{6}。 從 -1 減去 13。

$$q=-\frac{14}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-14}{6} 約分至最低項。

$$q=-\frac{7}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$q=2 q=-\frac{7}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3q^{2}+q-14=0$$

將 14 加到方程式的兩邊。

$$3q^{2}+q-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

從 -14 減去本身會剩下 0。

$$3q^{2}+q=-\left(-14\right)$$

從 0 減去 -14。

$$3q^{2}+q=14$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3q^{2}+q}{3}=\frac{14}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$q^{2}+\frac{1}{3}q=\frac{14}{3}$$

將 \frac{1}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{6}。接著，將 \frac{1}{6} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$q^{2}+\frac{1}{3}q+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{14}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

\frac{1}{6} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$q^{2}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{36}=\frac{14}{3}+\frac{1}{36}$$

將 \frac{14}{3} 與 \frac{1}{36} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$q^{2}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{36}=\frac{169}{36}$$

因數分解 q^{2}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{36}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(q+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(q+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

化簡。

$$q+\frac{1}{6}=\frac{13}{6} q+\frac{1}{6}=-\frac{13}{6}$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{6}。

$$q=2 q=-\frac{7}{3}$$