解決3n^2+3n+1=1141 |Microsoft數學求解器

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

解 n

$$n=-20$$

$$n=19$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 1141。

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

從 1 減去 1141 會得到 -1140。

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

將兩邊同時除以 3。

$$n^{2}+n-380=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 n^{2}+an+bn-380。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -380 的所有此類整數組合。

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

計算每個組合的總和。

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

該解的總和為 1。

$$a=-19 b=20$$

將 n^{2}+n-380 重寫為 \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)。

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

在第一個組因式分解是 n，且第二個組是 20。

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 n-19。

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 n-19=0 並 n+20=0。

$$n=19 n=-20$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

從方程式兩邊減去 1141。

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

從 1141 減去本身會剩下 0。

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

從 1 減去 1141。

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 3 代入 b，以及將 -1140 代入 c。

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

對 3 平方。

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

-12 乘上 -1140。

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

將 9 加到 13680。

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

取 13689 的平方根。

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 n=\frac{-3±117}{6}。 將 -3 加到 117。

$$n=\frac{114}{6}$$

114 除以 6。

$$n=19$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 n=\frac{-3±117}{6}。 從 -3 減去 117。

$$n=-\frac{120}{6}$$

-120 除以 6。

$$n=-20$$

現已成功解出方程式。

$$n=19 n=-20$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

從方程式兩邊減去 1。

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

從 1141 減去 1。

$$3n^{2}+3n=1140$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

3 除以 3。

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

1140 除以 3。

$$n^{2}+n=380$$

將 1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{2}。接著，將 \frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

將 380 加到 \frac{1}{4}。

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

因數分解 n^{2}+n+\frac{1}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

化簡。

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{2}。

$$n=19 n=-20$$