解決24x^2-65x+21=0 |Microsoft數學求解器

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

解 x

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 24x^{2}+ax+bx+21。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是負值，a 和 b 都是負值。 列出乘積為 504 的所有此類整數組合。

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

計算每個組合的總和。

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

該解的總和為 -65。

$$a=-56 b=-9$$

將 24x^{2}-65x+21 重寫為 \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)。

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

在第一個組因式分解是 8x，且第二個組是 -3。

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 3x-7。

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 3x-7=0 並 8x-3=0。

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$24x^{2}-65x+21=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 24 代入 a，將 -65 代入 b，以及將 21 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

對 -65 平方。

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

-4 乘上 24。

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

-96 乘上 21。

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

將 4225 加到 -2016。

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

取 2209 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

-65 的相反數是 65。

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

2 乘上 24。

$$x=\frac{65±47}{48}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{65±47}{48}。 將 65 加到 47。

$$x=\frac{112}{48}$$

透過找出與消去 16，對分式 \frac{112}{48} 約分至最低項。

$$x=\frac{7}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{65±47}{48}。 從 65 減去 47。

$$x=\frac{18}{48}$$

透過找出與消去 6，對分式 \frac{18}{48} 約分至最低項。

$$x=\frac{3}{8}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$24x^{2}-65x+21=0$$

從方程式兩邊減去 21。

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

從 21 減去本身會剩下 0。

$$24x^{2}-65x=-21$$

將兩邊同時除以 24。

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

除以 24 可以取消乘以 24 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

透過找出與消去 3，對分式 \frac{-21}{24} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

將 -\frac{65}{24} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{65}{48}。接著，將 -\frac{65}{48} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

-\frac{65}{48} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

將 -\frac{7}{8} 與 \frac{4225}{2304} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

因數分解 x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

化簡。

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

將 \frac{65}{48} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$