解決23x-25y=-169;25x-23y=-167 |Microsoft數學求解器

$$23 x - 25 y = - 169 ; 25 x - 23 y = - 167$$

解 x、y

$$x=-3$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$23x-25y=-169,25x-23y=-167$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$23x-25y=-169$$

將 25y 加到方程式的兩邊。

$$23x=25y-169$$

將兩邊同時除以 23。

$$x=\frac{1}{23}\left(25y-169\right)$$

\frac{1}{23} 乘上 25y-169。

$$x=\frac{25}{23}y-\frac{169}{23}$$

在另一個方程式 25x-23y=-167 中以 \frac{25y-169}{23} 代入 x在方程式。

$$25\left(\frac{25}{23}y-\frac{169}{23}\right)-23y=-167$$

25 乘上 \frac{25y-169}{23}。

$$\frac{625}{23}y-\frac{4225}{23}-23y=-167$$

將 \frac{625y}{23} 加到 -23y。

$$\frac{96}{23}y-\frac{4225}{23}=-167$$

將 \frac{4225}{23} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{96}{23}y=\frac{384}{23}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{96}{23}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=4$$

在 x=\frac{25}{23}y-\frac{169}{23} 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{25}{23}\times 4-\frac{169}{23}$$

\frac{25}{23} 乘上 4。

$$x=\frac{100-169}{23}$$

將 -\frac{169}{23} 與 \frac{100}{23} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$23x-25y=-169,25x-23y=-167$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23}{23\left(-23\right)-\left(-25\times 25\right)}&-\frac{-25}{23\left(-23\right)-\left(-25\times 25\right)}\\-\frac{25}{23\left(-23\right)-\left(-25\times 25\right)}&\frac{23}{23\left(-23\right)-\left(-25\times 25\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23}{96}&\frac{25}{96}\\-\frac{25}{96}&\frac{23}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23}{96}\left(-169\right)+\frac{25}{96}\left(-167\right)\\-\frac{25}{96}\left(-169\right)+\frac{23}{96}\left(-167\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$23x-25y=-169,25x-23y=-167$$

讓 23x 和 25x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 25，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 23。

$$25\times 23x+25\left(-25\right)y=25\left(-169\right),23\times 25x+23\left(-23\right)y=23\left(-167\right)$$

化簡。

$$575x-625y=-4225,575x-529y=-3841$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 575x-625y=-4225 減去 575x-529y=-3841。

$$575x-575x-625y+529y=-4225+3841$$

將 575x 加到 -575x。 575x 和 -575x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-625y+529y=-4225+3841$$

將 -625y 加到 529y。

$$-96y=-4225+3841$$

將 -4225 加到 3841。

$$-96y=-384$$

將兩邊同時除以 -96。

$$y=4$$

在 25x-23y=-167 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$25x-23\times 4=-167$$

-23 乘上 4。

$$25x-92=-167$$

將 92 加到方程式的兩邊。

$$25x=-75$$

將兩邊同時除以 25。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=4$$