解決2y^2+y-5=0 |Microsoft數學求解器

$$2 y ^ { 2 } + y - 5 = 0$$

解 y

$$y = \frac{\sqrt{41} - 1}{4} \approx 1.350781059$$

$$y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}\approx -1.850781059$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2y^{2}+y-5=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 1 代入 b，以及將 -5 代入 c。

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

對 1 平方。

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

-8 乘上 -5。

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+40}}{2\times 2}$$

將 1 加到 40。

$$y=\frac{-1±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$y=\frac{-1±\sqrt{41}}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{-1±\sqrt{41}}{4}。 將 -1 加到 \sqrt{41}。

$$y=\frac{\sqrt{41}-1}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{-1±\sqrt{41}}{4}。 從 -1 減去 \sqrt{41}。

$$y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

現已成功解出方程式。

$$y=\frac{\sqrt{41}-1}{4} y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2y^{2}+y-5=0$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$2y^{2}+y-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

從 -5 減去本身會剩下 0。

$$2y^{2}+y=-\left(-5\right)$$

從 0 減去 -5。

$$2y^{2}+y=5$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{5}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

將 \frac{1}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{4}。接著，將 \frac{1}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

\frac{1}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{5}{2}+\frac{1}{16}$$

將 \frac{5}{2} 與 \frac{1}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{41}{16}$$

因數分解 y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

化簡。

$$y+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{4}。

$$y=\frac{\sqrt{41}-1}{4} y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$