解決2x-3y+5=0,4x+ky-2=0 |Microsoft數學求解器

$$2 x - 3 y + 5 = 0,4 x + k y - 2 = 0$$

解 x、y

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

$$y=\frac{12}{k+6}$$

$$k\neq -6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-3y+5=0$$

從方程式兩邊減去 5。

$$2x-3y=-5$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$2x=3y-5$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 3y-5。

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

在另一個方程式 4x+ky-2=0 中以 \frac{3y-5}{2} 代入 x在方程式。

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+ky-2=0$$

4 乘上 \frac{3y-5}{2}。

$$6y-10+ky-2=0$$

將 6y 加到 ky。

$$\left(k+6\right)y-10-2=0$$

將 -10 加到 -2。

$$\left(k+6\right)y-12=0$$

將 12 加到方程式的兩邊。

$$\left(k+6\right)y=12$$

將兩邊同時除以 6+k。

$$y=\frac{12}{k+6}$$

在 x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2} 中以 \frac{12}{6+k} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{12}{k+6}-\frac{5}{2}$$

\frac{3}{2} 乘上 \frac{12}{6+k}。

$$x=\frac{18}{k+6}-\frac{5}{2}$$

將 -\frac{5}{2} 加到 \frac{18}{6+k}。

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2k-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2k-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2k-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2k-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}&\frac{3}{2\left(k+6\right)}\\-\frac{2}{k+6}&\frac{1}{k+6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}\left(-5\right)+\frac{3}{2\left(k+6\right)}\times 2\\\left(-\frac{2}{k+6}\right)\left(-5\right)+\frac{1}{k+6}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}\\\frac{12}{k+6}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

讓 2x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y+4\times 5=0,2\times 4x+2ky+2\left(-2\right)=0$$

化簡。

$$8x-12y+20=0,8x+2ky-4=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x-12y+20=0 減去 8x+2ky-4=0。

$$8x-8x-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

將 -12y 加到 -2ky。

$$\left(-2k-12\right)y+20+4=0$$

將 20 加到 4。

$$\left(-2k-12\right)y+24=0$$

從方程式兩邊減去 24。

$$\left(-2k-12\right)y=-24$$

將兩邊同時除以 -12-2k。

$$y=\frac{12}{k+6}$$

在 4x+ky-2=0 中以 \frac{12}{6+k} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+k\times \frac{12}{k+6}-2=0$$

k 乘上 \frac{12}{6+k}。

$$4x+\frac{12k}{k+6}-2=0$$

將 \frac{12k}{6+k} 加到 -2。

$$4x+\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{2\left(5k-6\right)}{6+k}。

$$4x=-\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$