解決16x^2+8x-3=0 |Microsoft數學求解器

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

解 x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 16x^{2}+ax+bx-3。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -48 的所有此類整數組合。

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

計算每個組合的總和。

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

該解的總和為 8。

$$a=-4 b=12$$

將 16x^{2}+8x-3 重寫為 \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)。

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

在第一個組因式分解是 4x，且第二個組是 3。

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 4x-1。

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 4x-1=0 並 4x+3=0。

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$16x^{2}+8x-3=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 16 代入 a，將 8 代入 b，以及將 -3 代入 c。

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

對 8 平方。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

-4 乘上 16。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

-64 乘上 -3。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

將 64 加到 192。

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

取 256 的平方根。

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

2 乘上 16。

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-8±16}{32}。 將 -8 加到 16。

$$x=\frac{8}{32}$$

透過找出與消去 8，對分式 \frac{8}{32} 約分至最低項。

$$x=\frac{1}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-8±16}{32}。 從 -8 減去 16。

$$x=-\frac{24}{32}$$

透過找出與消去 8，對分式 \frac{-24}{32} 約分至最低項。

$$x=-\frac{3}{4}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$16x^{2}+8x-3=0$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

從 -3 減去本身會剩下 0。

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

從 0 減去 -3。

$$16x^{2}+8x=3$$

將兩邊同時除以 16。

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

除以 16 可以取消乘以 16 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

透過找出與消去 8，對分式 \frac{8}{16} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

將 \frac{1}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{4}。接著，將 \frac{1}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

\frac{1}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

將 \frac{3}{16} 與 \frac{1}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

因數分解 x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

化簡。

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{4}。

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$