解決15y^2+8y+1=0 |Microsoft數學求解器

$$15 y ^ { 2 } + 8 y + 1 = 0$$

解 y

$$y=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 15y^{2}+ay+by+1。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是正數，a 和 b 都是正數。 列出乘積為 15 的所有此類整數組合。

$$1,15 3,5$$

計算每個組合的總和。

$$1+15=16 3+5=8$$

該解的總和為 8。

$$a=3 b=5$$

將 15y^{2}+8y+1 重寫為 \left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)。

$$\left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)$$

因式分解 15y^{2}+3y 中的 3y。

$$3y\left(5y+1\right)+5y+1$$

使用分配律來因式分解常用項 5y+1。

$$\left(5y+1\right)\left(3y+1\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 5y+1=0 並 3y+1=0。

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$15y^{2}+8y+1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 15 代入 a，將 8 代入 b，以及將 1 代入 c。

$$y=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

對 8 平方。

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

-4 乘上 15。

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

將 64 加到 -60。

$$y=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

取 4 的平方根。

$$y=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

2 乘上 15。

$$y=\frac{-8±2}{30}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{-8±2}{30}。 將 -8 加到 2。

$$y=-\frac{6}{30}$$

透過找出與消去 6，對分式 \frac{-6}{30} 約分至最低項。

$$y=-\frac{1}{5}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{-8±2}{30}。 從 -8 減去 2。

$$y=-\frac{10}{30}$$

透過找出與消去 10，對分式 \frac{-10}{30} 約分至最低項。

$$y=-\frac{1}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$15y^{2}+8y+1=0$$

從方程式兩邊減去 1。

$$15y^{2}+8y+1-1=-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$15y^{2}+8y=-1$$

將兩邊同時除以 15。

$$\frac{15y^{2}+8y}{15}=-\frac{1}{15}$$

除以 15 可以取消乘以 15 造成的效果。

$$y^{2}+\frac{8}{15}y=-\frac{1}{15}$$

將 \frac{8}{15} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{4}{15}。接著，將 \frac{4}{15} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

\frac{4}{15} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

將 -\frac{1}{15} 與 \frac{16}{225} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

因數分解 y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

化簡。

$$y+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} y+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

從方程式兩邊減去 \frac{4}{15}。

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$