解決13a^2-12a-9=0 |Microsoft數學求解器

$$13 a ^ { 2 } - 12 a - 9 = 0$$

解 a

$$a = \frac{3 \sqrt{17} + 6}{13} \approx 1.413024375$$

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}\approx -0.489947452$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$13a^{2}-12a-9=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 13 代入 a，將 -12 代入 b，以及將 -9 代入 c。

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

對 -12 平方。

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

-4 乘上 13。

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-52\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

-52 乘上 -9。

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+468}}{2\times 13}$$

將 144 加到 468。

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{612}}{2\times 13}$$

取 612 的平方根。

$$a=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

-12 的相反數是 12。

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

2 乘上 13。

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26}。 將 12 加到 6\sqrt{17}。

$$a=\frac{6\sqrt{17}+12}{26}$$

12+6\sqrt{17} 除以 26。

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26}。 從 12 減去 6\sqrt{17}。

$$a=\frac{12-6\sqrt{17}}{26}$$

12-6\sqrt{17} 除以 26。

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

現已成功解出方程式。

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$13a^{2}-12a-9=0$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$13a^{2}-12a-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

從 -9 減去本身會剩下 0。

$$13a^{2}-12a=-\left(-9\right)$$

從 0 減去 -9。

$$13a^{2}-12a=9$$

將兩邊同時除以 13。

$$\frac{13a^{2}-12a}{13}=\frac{9}{13}$$

除以 13 可以取消乘以 13 造成的效果。

$$a^{2}-\frac{12}{13}a=\frac{9}{13}$$

將 -\frac{12}{13} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{6}{13}。接著，將 -\frac{6}{13} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{9}{13}+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}$$

-\frac{6}{13} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{9}{13}+\frac{36}{169}$$

將 \frac{9}{13} 與 \frac{36}{169} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{153}{169}$$

因數分解 a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{153}{169}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{169}}$$

化簡。

$$a-\frac{6}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{13} a-\frac{6}{13}=-\frac{3\sqrt{17}}{13}$$

將 \frac{6}{13} 加到方程式的兩邊。

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$