解決(5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x |Microsoft數學求解器

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

解 x

$$x=-1$$

$$x=2$$

使用依分組因數分解的步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(5x-2\right)^{2}。

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

請考慮 \left(2x-1\right)\left(2x+1\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 對 1 平方。

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

展開 \left(2x\right)^{2}。

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

計算 2 的 2 乘冪，然後得到 4。

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

若要尋找 4x^{2}-1 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

合併 25x^{2} 和 -4x^{2} 以取得 21x^{2}。

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

將 4 與 1 相加可以得到 5。

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

從兩邊減去 47。

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

從 5 減去 47 會得到 -42。

$$21x^{2}-20x-42=x$$

從兩邊減去 x。

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

合併 -20x 和 -x 以取得 -21x。

$$21x^{2}-21x-42=0$$

將兩邊同時除以 21。

$$x^{2}-x-2=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 x^{2}+ax+bx-2。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 唯一的此類組合為系統解。

$$a=-2 b=1$$

將 x^{2}-x-2 重寫為 \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)。

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

因式分解 x^{2}-2x 中的 x。

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

使用分配律來因式分解常用項 x-2。

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-2=0 並 x+1=0。

$$x=2 x=-1$$

使用二次方程式公式的步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(5x-2\right)^{2}。

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

請考慮 \left(2x-1\right)\left(2x+1\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 對 1 平方。

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

展開 \left(2x\right)^{2}。

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

計算 2 的 2 乘冪，然後得到 4。

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

若要尋找 4x^{2}-1 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

合併 25x^{2} 和 -4x^{2} 以取得 21x^{2}。

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

將 4 與 1 相加可以得到 5。

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

從兩邊減去 47。

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

從 5 減去 47 會得到 -42。

$$21x^{2}-20x-42=x$$

從兩邊減去 x。

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

合併 -20x 和 -x 以取得 -21x。

$$21x^{2}-21x-42=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 21 代入 a，將 -21 代入 b，以及將 -42 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

對 -21 平方。

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

-4 乘上 21。

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

-84 乘上 -42。

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

將 441 加到 3528。

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

取 3969 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

-21 的相反數是 21。

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

2 乘上 21。

$$x=\frac{21±63}{42}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{21±63}{42}。 將 21 加到 63。

$$x=\frac{84}{42}$$

84 除以 42。

$$x=2$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{21±63}{42}。 從 21 減去 63。

$$x=-\frac{42}{42}$$

-42 除以 42。

$$x=-1$$

現已成功解出方程式。

$$x=2 x=-1$$

配方法的步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(5x-2\right)^{2}。

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

請考慮 \left(2x-1\right)\left(2x+1\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 對 1 平方。

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

展開 \left(2x\right)^{2}。

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

計算 2 的 2 乘冪，然後得到 4。

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

若要尋找 4x^{2}-1 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

合併 25x^{2} 和 -4x^{2} 以取得 21x^{2}。

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

將 4 與 1 相加可以得到 5。

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

從兩邊減去 x。

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

合併 -20x 和 -x 以取得 -21x。

$$21x^{2}-21x+5=47$$

從兩邊減去 5。

$$21x^{2}-21x=47-5$$

從 47 減去 5 會得到 42。

$$21x^{2}-21x=42$$

將兩邊同時除以 21。

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

除以 21 可以取消乘以 21 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

-21 除以 21。

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

42 除以 21。

$$x^{2}-x=2$$

將 -1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{2}。接著，將 -\frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

將 2 加到 \frac{1}{4}。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

因數分解 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

將 \frac{1}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=2 x=-1$$