\quad \text { 36. If } \frac { \sqrt { 7 } - 2 } { \sqrt { 7 } + 2 } = a \sqrt { 7 } + b
解 I (復數求解)
\left\{\begin{matrix}I=\frac{4\sqrt{7}b+11\sqrt{7}a+11b+28a}{108f}\text{, }&f\neq 0\\I\in \mathrm{C}\text{, }&a=-\frac{\sqrt{7}b}{7}\text{ and }f=0\end{matrix}\right.
解 I
\left\{\begin{matrix}I=\frac{4\sqrt{7}b+11\sqrt{7}a+11b+28a}{108f}\text{, }&f\neq 0\\I\in \mathrm{R}\text{, }&a=-\frac{\sqrt{7}b}{7}\text{ and }f=0\end{matrix}\right.
解 a
a=-\frac{\sqrt{7}\left(48\sqrt{7}If-132If+b\right)}{7}
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36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{\left(\sqrt{7}+2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}=a\sqrt{7}+b
將分子和分母同時乘以 \sqrt{7}-2，來有理化 \frac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{7}+2} 的分母。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-2^{2}}=a\sqrt{7}+b
請考慮 \left(\sqrt{7}+2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{7-4}=a\sqrt{7}+b
對 \sqrt{7} 平方。 對 2 平方。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{3}=a\sqrt{7}+b
從 7 減去 4 會得到 3。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)^{2}}{3}=a\sqrt{7}+b
將 \sqrt{7}-2 乘上 \sqrt{7}-2 得到 \left(\sqrt{7}-2\right)^{2}。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-4\sqrt{7}+4}{3}=a\sqrt{7}+b
使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{7}-2\right)^{2}。
36If\times \frac{7-4\sqrt{7}+4}{3}=a\sqrt{7}+b
\sqrt{7} 的平方是 7。
36If\times \frac{11-4\sqrt{7}}{3}=a\sqrt{7}+b
將 7 與 4 相加可以得到 11。
12\left(11-4\sqrt{7}\right)If=a\sqrt{7}+b
在 36 和 3 中同時消去最大公因數 3。
\left(132-48\sqrt{7}\right)If=a\sqrt{7}+b
計算 12 乘上 11-4\sqrt{7} 時使用乘法分配律。
\left(132I-48\sqrt{7}I\right)f=a\sqrt{7}+b
計算 132-48\sqrt{7} 乘上 I 時使用乘法分配律。
132If-48\sqrt{7}If=a\sqrt{7}+b
計算 132I-48\sqrt{7}I 乘上 f 時使用乘法分配律。
\left(132f-48\sqrt{7}f\right)I=a\sqrt{7}+b
合併所有包含 I 的項。
\left(-48\sqrt{7}f+132f\right)I=\sqrt{7}a+b
方程式為標準式。
\frac{\left(-48\sqrt{7}f+132f\right)I}{-48\sqrt{7}f+132f}=\frac{\sqrt{7}a+b}{-48\sqrt{7}f+132f}
將兩邊同時除以 132f-48\sqrt{7}f。
I=\frac{\sqrt{7}a+b}{-48\sqrt{7}f+132f}
除以 132f-48\sqrt{7}f 可以取消乘以 132f-48\sqrt{7}f 造成的效果。
I=\frac{\left(4\sqrt{7}+11\right)\left(\sqrt{7}a+b\right)}{108f}
a\sqrt{7}+b 除以 132f-48\sqrt{7}f。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{\left(\sqrt{7}+2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}=a\sqrt{7}+b
將分子和分母同時乘以 \sqrt{7}-2，來有理化 \frac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{7}+2} 的分母。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-2^{2}}=a\sqrt{7}+b
請考慮 \left(\sqrt{7}+2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{7-4}=a\sqrt{7}+b
對 \sqrt{7} 平方。 對 2 平方。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{3}=a\sqrt{7}+b
從 7 減去 4 會得到 3。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)^{2}}{3}=a\sqrt{7}+b
將 \sqrt{7}-2 乘上 \sqrt{7}-2 得到 \left(\sqrt{7}-2\right)^{2}。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-4\sqrt{7}+4}{3}=a\sqrt{7}+b
使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{7}-2\right)^{2}。
36If\times \frac{7-4\sqrt{7}+4}{3}=a\sqrt{7}+b
\sqrt{7} 的平方是 7。
36If\times \frac{11-4\sqrt{7}}{3}=a\sqrt{7}+b
將 7 與 4 相加可以得到 11。
12\left(11-4\sqrt{7}\right)If=a\sqrt{7}+b
在 36 和 3 中同時消去最大公因數 3。
\left(132-48\sqrt{7}\right)If=a\sqrt{7}+b
計算 12 乘上 11-4\sqrt{7} 時使用乘法分配律。
\left(132I-48\sqrt{7}I\right)f=a\sqrt{7}+b
計算 132-48\sqrt{7} 乘上 I 時使用乘法分配律。
132If-48\sqrt{7}If=a\sqrt{7}+b
計算 132I-48\sqrt{7}I 乘上 f 時使用乘法分配律。
\left(132f-48\sqrt{7}f\right)I=a\sqrt{7}+b
合併所有包含 I 的項。
\left(-48\sqrt{7}f+132f\right)I=\sqrt{7}a+b
方程式為標準式。
\frac{\left(-48\sqrt{7}f+132f\right)I}{-48\sqrt{7}f+132f}=\frac{\sqrt{7}a+b}{-48\sqrt{7}f+132f}
將兩邊同時除以 132f-48\sqrt{7}f。
I=\frac{\sqrt{7}a+b}{-48\sqrt{7}f+132f}
除以 132f-48\sqrt{7}f 可以取消乘以 132f-48\sqrt{7}f 造成的效果。
I=\frac{\left(4\sqrt{7}+11\right)\left(\sqrt{7}a+b\right)}{108f}
a\sqrt{7}+b 除以 132f-48\sqrt{7}f。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{\left(\sqrt{7}+2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}=a\sqrt{7}+b
將分子和分母同時乘以 \sqrt{7}-2，來有理化 \frac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{7}+2} 的分母。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-2^{2}}=a\sqrt{7}+b
請考慮 \left(\sqrt{7}+2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{7-4}=a\sqrt{7}+b
對 \sqrt{7} 平方。 對 2 平方。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}-2\right)}{3}=a\sqrt{7}+b
從 7 減去 4 會得到 3。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}-2\right)^{2}}{3}=a\sqrt{7}+b
將 \sqrt{7}-2 乘上 \sqrt{7}-2 得到 \left(\sqrt{7}-2\right)^{2}。
36If\times \frac{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-4\sqrt{7}+4}{3}=a\sqrt{7}+b
使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{7}-2\right)^{2}。
36If\times \frac{7-4\sqrt{7}+4}{3}=a\sqrt{7}+b
\sqrt{7} 的平方是 7。
36If\times \frac{11-4\sqrt{7}}{3}=a\sqrt{7}+b
將 7 與 4 相加可以得到 11。
12\left(11-4\sqrt{7}\right)If=a\sqrt{7}+b
在 36 和 3 中同時消去最大公因數 3。
\left(132-48\sqrt{7}\right)If=a\sqrt{7}+b
計算 12 乘上 11-4\sqrt{7} 時使用乘法分配律。
\left(132I-48\sqrt{7}I\right)f=a\sqrt{7}+b
計算 132-48\sqrt{7} 乘上 I 時使用乘法分配律。
132If-48\sqrt{7}If=a\sqrt{7}+b
計算 132I-48\sqrt{7}I 乘上 f 時使用乘法分配律。
a\sqrt{7}+b=132If-48\sqrt{7}If
換邊，將所有變數項都置於左邊。
a\sqrt{7}=132If-48\sqrt{7}If-b
從兩邊減去 b。
\sqrt{7}a=-48\sqrt{7}If+132If-b
方程式為標準式。
\frac{\sqrt{7}a}{\sqrt{7}}=\frac{-48\sqrt{7}If+132If-b}{\sqrt{7}}
將兩邊同時除以 \sqrt{7}。
a=\frac{-48\sqrt{7}If+132If-b}{\sqrt{7}}
除以 \sqrt{7} 可以取消乘以 \sqrt{7} 造成的效果。
a=\frac{\sqrt{7}\left(-48\sqrt{7}If+132If-b\right)}{7}
-b+132fI-48\sqrt{7}fI 除以 \sqrt{7}。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}