解決{r}{5x+4y=1}{x-6y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left.\begin{array} { r } { 5 x + 4 y = 1 } \\ { x - 6 y = 7 } \end{array} \right\}$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+4y=1,x-6y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+4y=1$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$5x=-4y+1$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+1\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -4y+1。

$$x=-\frac{4}{5}y+\frac{1}{5}$$

在另一個方程式 x-6y=7 中以 \frac{-4y+1}{5} 代入 x在方程式。

$$-\frac{4}{5}y+\frac{1}{5}-6y=7$$

將 -\frac{4y}{5} 加到 -6y。

$$-\frac{34}{5}y+\frac{1}{5}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{5}。

$$-\frac{34}{5}y=\frac{34}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{34}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-1$$

在 x=-\frac{4}{5}y+\frac{1}{5} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{4}{5}\left(-1\right)+\frac{1}{5}$$

-\frac{4}{5} 乘上 -1。

$$x=\frac{4+1}{5}$$

將 \frac{1}{5} 與 \frac{4}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+4y=1,x-6y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&4\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&4\\1&-6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{5\left(-6\right)-4}&-\frac{4}{5\left(-6\right)-4}\\-\frac{1}{5\left(-6\right)-4}&\frac{5}{5\left(-6\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{34}&-\frac{5}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}+\frac{2}{17}\times 7\\\frac{1}{34}-\frac{5}{34}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+4y=1,x-6y=7$$

讓 5x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$5x+4y=1,5x+5\left(-6\right)y=5\times 7$$

化簡。

$$5x+4y=1,5x-30y=35$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x+4y=1 減去 5x-30y=35。

$$5x-5x+4y+30y=1-35$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y+30y=1-35$$

將 4y 加到 30y。

$$34y=1-35$$

將 1 加到 -35。

$$34y=-34$$

將兩邊同時除以 34。

$$y=-1$$

在 x-6y=7 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-6\left(-1\right)=7$$

-6 乘上 -1。

$$x+6=7$$

從方程式兩邊減去 6。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-1$$