解決{c}{x+y=12}{x=3y} |Microsoft數學求解器

$$\left.\begin{array} { c } { x + y = 12 } \\ { x = 3 y } \end{array} \right\}$$

解 x、y

$$x=9$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 3y。

$$x-3y=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=12,x-3y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=12$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+12$$

在另一個方程式 x-3y=0 中以 -y+12 代入 x在方程式。

$$-y+12-3y=0$$

將 -y 加到 -3y。

$$-4y+12=0$$

從方程式兩邊減去 12。

$$-4y=-12$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=3$$

在 x=-y+12 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-3+12$$

將 12 加到 -3。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=3$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 3y。

$$x-3y=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=12,x-3y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 12\\\frac{1}{4}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=9,y=3$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 3y。

$$x-3y=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=12,x-3y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+y=12 減去 x-3y=0。

$$x-x+y+3y=12$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y+3y=12$$

將 y 加到 3y。

$$4y=12$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=3$$

在 x-3y=0 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-3\times 3=0$$

-3 乘上 3。

$$x-9=0$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=3$$