解決{l}{x=2y-3}{2x+5y=30} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array}{l}{ x = 2 y - 3 }\\{ 2 x + 5 y = 30 }\end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=5$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$x-2y=-3$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-2y=-3,2x+5y=30$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-2y=-3$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$x=2y-3$$

在另一個方程式 2x+5y=30 中以 2y-3 代入 x在方程式。

$$2\left(2y-3\right)+5y=30$$

2 乘上 2y-3。

$$4y-6+5y=30$$

將 4y 加到 5y。

$$9y-6=30$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$9y=36$$

將兩邊同時除以 9。

$$y=4$$

在 x=2y-3 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2\times 4-3$$

2 乘上 4。

$$x=8-3$$

將 -3 加到 8。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=4$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$x-2y=-3$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-2y=-3,2x+5y=30$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\left(-3\right)+\frac{2}{9}\times 30\\-\frac{2}{9}\left(-3\right)+\frac{1}{9}\times 30\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=4$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$x-2y=-3$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-2y=-3,2x+5y=30$$

讓 x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2x+2\left(-2\right)y=2\left(-3\right),2x+5y=30$$

化簡。

$$2x-4y=-6,2x+5y=30$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x-4y=-6 減去 2x+5y=30。

$$2x-2x-4y-5y=-6-30$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y-5y=-6-30$$

將 -4y 加到 -5y。

$$-9y=-6-30$$

將 -6 加到 -30。

$$-9y=-36$$

將兩邊同時除以 -9。

$$y=4$$

在 2x+5y=30 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+5\times 4=30$$

5 乘上 4。

$$2x+20=30$$

從方程式兩邊減去 20。

$$2x=10$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=4$$