解決{l}{7x+2y=-33}{x+9y=65} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x + 2 y = - 33 }\\{ x + 9 y = 65 }\end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-7$$

$$y=8$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x+2y=-33$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$7x=-2y-33$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y-33\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 -2y-33。

$$x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}$$

在另一個方程式 x+9y=65 中以 \frac{-2y-33}{7} 代入 x在方程式。

$$-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}+9y=65$$

將 -\frac{2y}{7} 加到 9y。

$$\frac{61}{7}y-\frac{33}{7}=65$$

將 \frac{33}{7} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{61}{7}y=\frac{488}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{61}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=8$$

在 x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7} 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{7}\times 8-\frac{33}{7}$$

-\frac{2}{7} 乘上 8。

$$x=\frac{-16-33}{7}$$

將 -\frac{33}{7} 與 -\frac{16}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-7$$

現已成功解出系統。

$$x=-7,y=8$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7\times 9-2}&-\frac{2}{7\times 9-2}\\-\frac{1}{7\times 9-2}&\frac{7}{7\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}&-\frac{2}{61}\\-\frac{1}{61}&\frac{7}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}\left(-33\right)-\frac{2}{61}\times 65\\-\frac{1}{61}\left(-33\right)+\frac{7}{61}\times 65\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-7,y=8$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

讓 7x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$7x+2y=-33,7x+7\times 9y=7\times 65$$

化簡。

$$7x+2y=-33,7x+63y=455$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7x+2y=-33 減去 7x+63y=455。

$$7x-7x+2y-63y=-33-455$$

將 7x 加到 -7x。 7x 和 -7x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y-63y=-33-455$$

將 2y 加到 -63y。

$$-61y=-33-455$$

將 -33 加到 -455。

$$-61y=-488$$

將兩邊同時除以 -61。

$$y=8$$

在 x+9y=65 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+9\times 8=65$$

9 乘上 8。

$$x+72=65$$

從方程式兩邊減去 72。

$$x=-7$$

現已成功解出系統。

$$x=-7,y=8$$