解決{r}{5x-2y=-1}{x+4y=35} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x - 2 y = - 1 } \\ { x + 4 y = 35 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=8$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-2y=-1,x+4y=35$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-2y=-1$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$5x=2y-1$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(2y-1\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 2y-1。

$$x=\frac{2}{5}y-\frac{1}{5}$$

在另一個方程式 x+4y=35 中以 \frac{2y-1}{5} 代入 x在方程式。

$$\frac{2}{5}y-\frac{1}{5}+4y=35$$

將 \frac{2y}{5} 加到 4y。

$$\frac{22}{5}y-\frac{1}{5}=35$$

將 \frac{1}{5} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{22}{5}y=\frac{176}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{22}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=8$$

在 x=\frac{2}{5}y-\frac{1}{5} 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{2}{5}\times 8-\frac{1}{5}$$

\frac{2}{5} 乘上 8。

$$x=\frac{16-1}{5}$$

將 -\frac{1}{5} 與 \frac{16}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=8$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-2y=-1,x+4y=35$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\times 4-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-1\right)+\frac{1}{11}\times 35\\-\frac{1}{22}\left(-1\right)+\frac{5}{22}\times 35\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=8$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-2y=-1,x+4y=35$$

讓 5x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$5x-2y=-1,5x+5\times 4y=5\times 35$$

化簡。

$$5x-2y=-1,5x+20y=175$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x-2y=-1 減去 5x+20y=175。

$$5x-5x-2y-20y=-1-175$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2y-20y=-1-175$$

將 -2y 加到 -20y。

$$-22y=-1-175$$

將 -1 加到 -175。

$$-22y=-176$$

將兩邊同時除以 -22。

$$y=8$$

在 x+4y=35 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+4\times 8=35$$

4 乘上 8。

$$x+32=35$$

從方程式兩邊減去 32。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=8$$