解決{r}{2x+3y=-9}{x-y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = - 9 } \\ { x - y = 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+3y=-9,x-y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+3y=-9$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$2x=-3y-9$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-9\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -3y-9。

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}$$

在另一個方程式 x-y=3 中以 \frac{-3y-9}{2} 代入 x在方程式。

$$-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}-y=3$$

將 -\frac{3y}{2} 加到 -y。

$$-\frac{5}{2}y-\frac{9}{2}=3$$

將 \frac{9}{2} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{5}{2}y=\frac{15}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{5}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-3$$

在 x=-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2} 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{2}\left(-3\right)-\frac{9}{2}$$

-\frac{3}{2} 乘上 -3。

$$x=\frac{9-9}{2}$$

將 -\frac{9}{2} 與 \frac{9}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+3y=-9,x-y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-9\right)+\frac{3}{5}\times 3\\\frac{1}{5}\left(-9\right)-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=-3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+3y=-9,x-y=3$$

讓 2x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$2x+3y=-9,2x+2\left(-1\right)y=2\times 3$$

化簡。

$$2x+3y=-9,2x-2y=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+3y=-9 減去 2x-2y=6。

$$2x-2x+3y+2y=-9-6$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y+2y=-9-6$$

將 3y 加到 2y。

$$5y=-9-6$$

將 -9 加到 -6。

$$5y=-15$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=-3$$

在 x-y=3 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-\left(-3\right)=3$$

從方程式兩邊減去 3。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-3$$