解決{r}{-x+3y=4}{-7x+12y=12} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { - x + 3 y = 4 } \\ { - 7 x + 12 y = 12 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9} \approx 1.777777778$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-x+3y=4,-7x+12y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-x+3y=4$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$-x=-3y+4$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-\left(-3y+4\right)$$

-1 乘上 -3y+4。

$$x=3y-4$$

在另一個方程式 -7x+12y=12 中以 3y-4 代入 x在方程式。

$$-7\left(3y-4\right)+12y=12$$

-7 乘上 3y-4。

$$-21y+28+12y=12$$

將 -21y 加到 12y。

$$-9y+28=12$$

從方程式兩邊減去 28。

$$-9y=-16$$

將兩邊同時除以 -9。

$$y=\frac{16}{9}$$

在 x=3y-4 中以 \frac{16}{9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=3\times \frac{16}{9}-4$$

3 乘上 \frac{16}{9}。

$$x=\frac{16}{3}-4$$

將 -4 加到 \frac{16}{3}。

$$x=\frac{4}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{16}{9}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-x+3y=4,-7x+12y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-3\left(-7\right)}&-\frac{3}{-12-3\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-12-3\left(-7\right)}&-\frac{1}{-12-3\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{7}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times 4-\frac{1}{3}\times 12\\\frac{7}{9}\times 4-\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{16}{9}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{16}{9}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-x+3y=4,-7x+12y=12$$

讓 -x 和 -7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1。

$$-7\left(-1\right)x-7\times 3y=-7\times 4,-\left(-7\right)x-12y=-12$$

化簡。

$$7x-21y=-28,7x-12y=-12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7x-21y=-28 減去 7x-12y=-12。

$$7x-7x-21y+12y=-28+12$$

將 7x 加到 -7x。 7x 和 -7x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-21y+12y=-28+12$$

將 -21y 加到 12y。

$$-9y=-28+12$$

將 -28 加到 12。

$$-9y=-16$$

將兩邊同時除以 -9。

$$y=\frac{16}{9}$$

在 -7x+12y=12 中以 \frac{16}{9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-7x+12\times \frac{16}{9}=12$$

12 乘上 \frac{16}{9}。

$$-7x+\frac{64}{3}=12$$

從方程式兩邊減去 \frac{64}{3}。

$$-7x=-\frac{28}{3}$$

將兩邊同時除以 -7。

$$x=\frac{4}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{16}{9}$$