解決{l}{y=6x}{x+y+y=315.9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x } \\ { x + y + y = 315.9 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=24.3$$

$$y=145.8$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 6x。

$$y-6x=0$$

考慮第二個方程式。 合併 y 和 y 以取得 2y。

$$x+2y=315.9$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-6x=0$$

將 6x 加到方程式的兩邊。

$$y=6x$$

在另一個方程式 2y+x=315.9 中以 6x 代入 y在方程式。

$$2\times 6x+x=315.9$$

2 乘上 6x。

$$12x+x=315.9$$

將 12x 加到 x。

$$13x=315.9$$

將兩邊同時除以 13。

$$x=24.3$$

在 y=6x 中以 24.3 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=6\times 24.3$$

6 乘上 24.3。

$$y=145.8$$

現已成功解出系統。

$$y=145.8,x=24.3$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 6x。

$$y-6x=0$$

考慮第二個方程式。 合併 y 和 y 以取得 2y。

$$x+2y=315.9$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{6}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 315.9\\\frac{1}{13}\times 315.9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{729}{5}\\\frac{243}{10}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 6x。

$$y-6x=0$$

考慮第二個方程式。 合併 y 和 y 以取得 2y。

$$x+2y=315.9$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

讓 y 和 2y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2y+2\left(-6\right)x=0,2y+x=315.9$$

化簡。

$$2y-12x=0,2y+x=315.9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2y-12x=0 減去 2y+x=315.9。

$$2y-2y-12x-x=-315.9$$

將 2y 加到 -2y。 2y 和 -2y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-12x-x=-315.9$$

將 -12x 加到 -x。

$$-13x=-315.9$$

將兩邊同時除以 -13。

$$x=\frac{243}{10}$$

在 2y+x=315.9 中以 \frac{243}{10} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$2y+\frac{243}{10}=315.9$$

從方程式兩邊減去 \frac{243}{10}。

$$2y=\frac{1458}{5}$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=\frac{729}{5}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$