解決{l}{y=2x-4}{x+2y-1=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 4 } \\ { x + 2 y - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=-4$$

考慮第二個方程式。 新增 1 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x+2y=1$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-2x=-4$$

將 2x 加到方程式的兩邊。

$$y=2x-4$$

在另一個方程式 2y+x=1 中以 -4+2x 代入 y在方程式。

$$2\left(2x-4\right)+x=1$$

2 乘上 -4+2x。

$$4x-8+x=1$$

將 4x 加到 x。

$$5x-8=1$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$5x=9$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{9}{5}$$

在 y=2x-4 中以 \frac{9}{5} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=2\times \frac{9}{5}-4$$

2 乘上 \frac{9}{5}。

$$y=\frac{18}{5}-4$$

將 -4 加到 \frac{18}{5}。

$$y=-\frac{2}{5}$$

現已成功解出系統。

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=-4$$

考慮第二個方程式。 新增 1 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x+2y=1$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-4\right)+\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=-4$$

考慮第二個方程式。 新增 1 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x+2y=1$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

讓 y 和 2y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2y+2\left(-2\right)x=2\left(-4\right),2y+x=1$$

化簡。

$$2y-4x=-8,2y+x=1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2y-4x=-8 減去 2y+x=1。

$$2y-2y-4x-x=-8-1$$

將 2y 加到 -2y。 2y 和 -2y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4x-x=-8-1$$

將 -4x 加到 -x。

$$-5x=-8-1$$

將 -8 加到 -1。

$$-5x=-9$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=\frac{9}{5}$$

在 2y+x=1 中以 \frac{9}{5} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$2y+\frac{9}{5}=1$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{5}。

$$2y=-\frac{4}{5}$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=-\frac{2}{5}$$

現已成功解出系統。

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$