解決{l}{y=x/3-3}{4x+y=-3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 3 } - 3 } \\ { 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=0$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{x}{3}。

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

對方程式兩邊同時乘上 3。

$$3y-x=-9$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$3y-x=-9$$

將 x 加到方程式的兩邊。

$$3y=x-9$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=\frac{1}{3}\left(x-9\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 x-9。

$$y=\frac{1}{3}x-3$$

在另一個方程式 y+4x=-3 中以 \frac{x}{3}-3 代入 y在方程式。

$$\frac{1}{3}x-3+4x=-3$$

將 \frac{x}{3} 加到 4x。

$$\frac{13}{3}x-3=-3$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$\frac{13}{3}x=0$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{13}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=0$$

在 y=\frac{1}{3}x-3 中以 0 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-3$$

現已成功解出系統。

$$y=-3,x=0$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{x}{3}。

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

對方程式兩邊同時乘上 3。

$$3y-x=-9$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 4-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\left(-9\right)+\frac{1}{13}\left(-3\right)\\-\frac{1}{13}\left(-9\right)+\frac{3}{13}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-3,x=0$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{x}{3}。

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

對方程式兩邊同時乘上 3。

$$3y-x=-9$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

讓 3y 和 y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$3y-x=-9,3y+3\times 4x=3\left(-3\right)$$

化簡。

$$3y-x=-9,3y+12x=-9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3y-x=-9 減去 3y+12x=-9。

$$3y-3y-x-12x=-9+9$$

將 3y 加到 -3y。 3y 和 -3y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-x-12x=-9+9$$

將 -x 加到 -12x。

$$-13x=-9+9$$

將 -9 加到 9。

$$-13x=0$$

將兩邊同時除以 -13。

$$x=0$$

在 y+4x=-3 中以 0 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-3$$

現已成功解出系統。

$$y=-3,x=0$$