解 y、x
x=9
y=-3
圖表
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y-\frac{1}{3}x=-6
考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{3}x。
y-\frac{1}{9}x=-4
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{9}x。
y-\frac{1}{3}x=-6,y-\frac{1}{9}x=-4
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
y-\frac{1}{3}x=-6
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。
y=\frac{1}{3}x-6
將 \frac{x}{3} 加到方程式的兩邊。
\frac{1}{3}x-6-\frac{1}{9}x=-4
在另一個方程式 y-\frac{1}{9}x=-4 中以 \frac{x}{3}-6 代入 y在方程式。
\frac{2}{9}x-6=-4
將 \frac{x}{3} 加到 -\frac{x}{9}。
\frac{2}{9}x=2
將 6 加到方程式的兩邊。
x=9
對方程式的兩邊同時除以 \frac{2}{9}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
y=\frac{1}{3}\times 9-6
在 y=\frac{1}{3}x-6 中以 9 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
y=3-6
\frac{1}{3} 乘上 9。
y=-3
將 -6 加到 3。
y=-3,x=9
現已成功解出系統。
y-\frac{1}{3}x=-6
考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{3}x。
y-\frac{1}{9}x=-4
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{9}x。
y-\frac{1}{3}x=-6,y-\frac{1}{9}x=-4
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-6\right)+\frac{3}{2}\left(-4\right)\\-\frac{9}{2}\left(-6\right)+\frac{9}{2}\left(-4\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\9\end{matrix}\right)
計算。
y=-3,x=9
解出矩陣元素 y 和 x。
y-\frac{1}{3}x=-6
考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{3}x。
y-\frac{1}{9}x=-4
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{9}x。
y-\frac{1}{3}x=-6,y-\frac{1}{9}x=-4
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=-6+4
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y-\frac{1}{3}x=-6 減去 y-\frac{1}{9}x=-4。
-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=-6+4
將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-\frac{2}{9}x=-6+4
將 -\frac{x}{3} 加到 \frac{x}{9}。
-\frac{2}{9}x=-2
將 -6 加到 4。
x=9
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{2}{9}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
y-\frac{1}{9}\times 9=-4
在 y-\frac{1}{9}x=-4 中以 9 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
y-1=-4
-\frac{1}{9} 乘上 9。
y=-3
將 1 加到方程式的兩邊。
y=-3,x=9
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}