解決{l}{x-y=7}{y=2x-12} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 7 } \\ { y = 2 x - 12 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=5$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=-12$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=7,-2x+y=-12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=7$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+7$$

在另一個方程式 -2x+y=-12 中以 y+7 代入 x在方程式。

$$-2\left(y+7\right)+y=-12$$

-2 乘上 y+7。

$$-2y-14+y=-12$$

將 -2y 加到 y。

$$-y-14=-12$$

將 14 加到方程式的兩邊。

$$-y=2$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-2$$

在 x=y+7 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2+7$$

將 7 加到 -2。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=-2$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=-12$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=7,-2x+y=-12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7-\left(-12\right)\\-2\times 7-\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=-2$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=-12$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=7,-2x+y=-12$$

讓 x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-2x-2\left(-1\right)y=-2\times 7,-2x+y=-12$$

化簡。

$$-2x+2y=-14,-2x+y=-12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x+2y=-14 減去 -2x+y=-12。

$$-2x+2x+2y-y=-14+12$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y-y=-14+12$$

將 2y 加到 -y。

$$y=-14+12$$

將 -14 加到 12。

$$y=-2$$

在 -2x+y=-12 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x-2=-12$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$-2x=-10$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=-2$$