解決{l}{x-29z=15}{4x+3z=-2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x - 29 z = 15 } \\ { 4 x + 3 z = - 2 } \end{array} \right.$$

解 x、z

$$x=-\frac{13}{119}\approx -0.109243697$$

$$z=-\frac{62}{119}\approx -0.521008403$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-29z=15$$

將 29z 加到方程式的兩邊。

$$x=29z+15$$

在另一個方程式 4x+3z=-2 中以 29z+15 代入 x在方程式。

$$4\left(29z+15\right)+3z=-2$$

4 乘上 29z+15。

$$116z+60+3z=-2$$

將 116z 加到 3z。

$$119z+60=-2$$

從方程式兩邊減去 60。

$$119z=-62$$

將兩邊同時除以 119。

$$z=-\frac{62}{119}$$

在 x=29z+15 中以 -\frac{62}{119} 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=29\left(-\frac{62}{119}\right)+15$$

29 乘上 -\frac{62}{119}。

$$x=-\frac{1798}{119}+15$$

將 15 加到 -\frac{1798}{119}。

$$x=-\frac{13}{119}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-29\times 4\right)}&-\frac{-29}{3-\left(-29\times 4\right)}\\-\frac{4}{3-\left(-29\times 4\right)}&\frac{1}{3-\left(-29\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}&\frac{29}{119}\\-\frac{4}{119}&\frac{1}{119}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}\times 15+\frac{29}{119}\left(-2\right)\\-\frac{4}{119}\times 15+\frac{1}{119}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{119}\\-\frac{62}{119}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 z。

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

讓 x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4x+4\left(-29\right)z=4\times 15,4x+3z=-2$$

化簡。

$$4x-116z=60,4x+3z=-2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x-116z=60 減去 4x+3z=-2。

$$4x-4x-116z-3z=60+2$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-116z-3z=60+2$$

將 -116z 加到 -3z。

$$-119z=60+2$$

將 60 加到 2。

$$-119z=62$$

將兩邊同時除以 -119。

$$z=-\frac{62}{119}$$

在 4x+3z=-2 中以 -\frac{62}{119} 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+3\left(-\frac{62}{119}\right)=-2$$

3 乘上 -\frac{62}{119}。

$$4x-\frac{186}{119}=-2$$

將 \frac{186}{119} 加到方程式的兩邊。

$$4x=-\frac{52}{119}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=-\frac{13}{119}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$