解決{l}{x-10y=-14}{-5x-8y=12} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x - 10 y = - 14 } \\ { - 5 x - 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-4$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-10y=-14$$

將 10y 加到方程式的兩邊。

$$x=10y-14$$

在另一個方程式 -5x-8y=12 中以 10y-14 代入 x在方程式。

$$-5\left(10y-14\right)-8y=12$$

-5 乘上 10y-14。

$$-50y+70-8y=12$$

將 -50y 加到 -8y。

$$-58y+70=12$$

從方程式兩邊減去 70。

$$-58y=-58$$

將兩邊同時除以 -58。

$$y=1$$

在 x=10y-14 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=10-14$$

將 -14 加到 10。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}&-\frac{-10}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}&\frac{1}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&-\frac{5}{29}\\-\frac{5}{58}&-\frac{1}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\left(-14\right)-\frac{5}{29}\times 12\\-\frac{5}{58}\left(-14\right)-\frac{1}{58}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-4,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

讓 x 和 -5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-5x-5\left(-10\right)y=-5\left(-14\right),-5x-8y=12$$

化簡。

$$-5x+50y=70,-5x-8y=12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -5x+50y=70 減去 -5x-8y=12。

$$-5x+5x+50y+8y=70-12$$

將 -5x 加到 5x。 -5x 和 5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$50y+8y=70-12$$

將 50y 加到 8y。

$$58y=70-12$$

將 70 加到 -12。

$$58y=58$$

將兩邊同時除以 58。

$$y=1$$

在 -5x-8y=12 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-5x-8=12$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$-5x=20$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=1$$