解決{l}{x=y+4}{4x-y=22} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x = y + 4 } \\ { 4 x - y = 22 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=6$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-y=4$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=4,4x-y=22$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=4$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+4$$

在另一個方程式 4x-y=22 中以 y+4 代入 x在方程式。

$$4\left(y+4\right)-y=22$$

4 乘上 y+4。

$$4y+16-y=22$$

將 4y 加到 -y。

$$3y+16=22$$

從方程式兩邊減去 16。

$$3y=6$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=2$$

在 x=y+4 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2+4$$

將 4 加到 2。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=2$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-y=4$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=4,4x-y=22$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 22\\-\frac{4}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 22\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=6,y=2$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-y=4$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=4,4x-y=22$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x-y=4 減去 4x-y=22。

$$x-4x-y+y=4-22$$

將 -y 加到 y。 -y 和 y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$x-4x=4-22$$

將 x 加到 -4x。

$$-3x=4-22$$

將 4 加到 -22。

$$-3x=-18$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=6$$

在 4x-y=22 中以 6 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$4\times 6-y=22$$

4 乘上 6。

$$24-y=22$$

從方程式兩邊減去 24。

$$-y=-2$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=2$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=2$$