解決{l}{x=y+1}{4x+2y=-14} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x = y + 1 } \\ { 4 x + 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-2$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-y=1$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=1,4x+2y=-14$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=1$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+1$$

在另一個方程式 4x+2y=-14 中以 y+1 代入 x在方程式。

$$4\left(y+1\right)+2y=-14$$

4 乘上 y+1。

$$4y+4+2y=-14$$

將 4y 加到 2y。

$$6y+4=-14$$

從方程式兩邊減去 4。

$$6y=-18$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=-3$$

在 x=y+1 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-3+1$$

將 1 加到 -3。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=-3$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-y=1$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=1,4x+2y=-14$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-14\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\4&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-14\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-14\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-14\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-4\right)}&\frac{1}{2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-14\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-14\right)\\-\frac{2}{3}+\frac{1}{6}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-2,y=-3$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-y=1$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=1,4x+2y=-14$$

讓 x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4x+4\left(-1\right)y=4,4x+2y=-14$$

化簡。

$$4x-4y=4,4x+2y=-14$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x-4y=4 減去 4x+2y=-14。

$$4x-4x-4y-2y=4+14$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y-2y=4+14$$

將 -4y 加到 -2y。

$$-6y=4+14$$

將 4 加到 14。

$$-6y=18$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=-3$$

在 4x+2y=-14 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+2\left(-3\right)=-14$$

2 乘上 -3。

$$4x-6=-14$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$4x=-8$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=-3$$