解決{l}{x+y=7}{5x+12y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 7 } \\ { 5 x + 12 y = 7 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=11$$

$$y=-4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=7,5x+12y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=7$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+7$$

在另一個方程式 5x+12y=7 中以 -y+7 代入 x在方程式。

$$5\left(-y+7\right)+12y=7$$

5 乘上 -y+7。

$$-5y+35+12y=7$$

將 -5y 加到 12y。

$$7y+35=7$$

從方程式兩邊減去 35。

$$7y=-28$$

將兩邊同時除以 7。

$$y=-4$$

在 x=-y+7 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\left(-4\right)+7$$

-1 乘上 -4。

$$x=4+7$$

將 7 加到 4。

$$x=11$$

現已成功解出系統。

$$x=11,y=-4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=7,5x+12y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{12-5}&-\frac{1}{12-5}\\-\frac{5}{12-5}&\frac{1}{12-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{5}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\times 7-\frac{1}{7}\times 7\\-\frac{5}{7}\times 7+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=11,y=-4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=7,5x+12y=7$$

讓 x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$5x+5y=5\times 7,5x+12y=7$$

化簡。

$$5x+5y=35,5x+12y=7$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x+5y=35 減去 5x+12y=7。

$$5x-5x+5y-12y=35-7$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$5y-12y=35-7$$

將 5y 加到 -12y。

$$-7y=35-7$$

將 35 加到 -7。

$$-7y=28$$

將兩邊同時除以 -7。

$$y=-4$$

在 5x+12y=7 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+12\left(-4\right)=7$$

12 乘上 -4。

$$5x-48=7$$

將 48 加到方程式的兩邊。

$$5x=55$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=11$$

現已成功解出系統。

$$x=11,y=-4$$