解決{l}{x+y=7}{3x+2y=14}{text{Graph}} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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x+y=7,3x+2y=14

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

x+y=7

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

x=-y+7

從方程式兩邊減去 y。

3\left(-y+7\right)+2y=14

在另一個方程式 3x+2y=14 中以 -y+7 代入 x在方程式。

-3y+21+2y=14

3 乘上 -y+7。

-y+21=14

將 -3y 加到 2y。

-y=-7

從方程式兩邊減去 21。

y=7

將兩邊同時除以 -1。

x=-7+7

在 x=-y+7 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=0

將 7 加到 -7。

x=0,y=7

現已成功解出系統。

x+y=7,3x+2y=14

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{1}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 7+14\\3\times 7-14\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)

計算。

x=0,y=7

解出矩陣元素 x 和 y。

x+y=7,3x+2y=14

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

3x+3y=3\times 7,3x+2y=14

讓 x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。