解決{l}{x+y=2}{2x+4y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=2,2x+4y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=2$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+2$$

在另一個方程式 2x+4y=8 中以 -y+2 代入 x在方程式。

$$2\left(-y+2\right)+4y=8$$

2 乘上 -y+2。

$$-2y+4+4y=8$$

將 -2y 加到 4y。

$$2y+4=8$$

從方程式兩邊減去 4。

$$2y=4$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=2$$

在 x=-y+2 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2+2$$

將 2 加到 -2。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=2,2x+4y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{1}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2-\frac{1}{2}\times 8\\-2+\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=2,2x+4y=8$$

讓 x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2x+2y=2\times 2,2x+4y=8$$

化簡。

$$2x+2y=4,2x+4y=8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+2y=4 減去 2x+4y=8。

$$2x-2x+2y-4y=4-8$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y-4y=4-8$$

將 2y 加到 -4y。

$$-2y=4-8$$

將 4 加到 -8。

$$-2y=-4$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=2$$

在 2x+4y=8 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+4\times 2=8$$

4 乘上 2。

$$2x+8=8$$

從方程式兩邊減去 8。

$$2x=0$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=2$$