解決{l}{x+y=10}{3x+5y=100} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 10 } \\ { 3 x + 5 y = 100 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-25$$

$$y=35$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=10,3x+5y=100$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=10$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+10$$

在另一個方程式 3x+5y=100 中以 -y+10 代入 x在方程式。

$$3\left(-y+10\right)+5y=100$$

3 乘上 -y+10。

$$-3y+30+5y=100$$

將 -3y 加到 5y。

$$2y+30=100$$

從方程式兩邊減去 30。

$$2y=70$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=35$$

在 x=-y+10 中以 35 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-35+10$$

將 10 加到 -35。

$$x=-25$$

現已成功解出系統。

$$x=-25,y=35$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=10,3x+5y=100$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\100\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\3&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\100\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\100\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\100\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-3}&-\frac{1}{5-3}\\-\frac{3}{5-3}&\frac{1}{5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\100\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\100\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\times 10-\frac{1}{2}\times 100\\-\frac{3}{2}\times 10+\frac{1}{2}\times 100\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\35\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-25,y=35$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=10,3x+5y=100$$

讓 x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$3x+3y=3\times 10,3x+5y=100$$

化簡。

$$3x+3y=30,3x+5y=100$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+3y=30 減去 3x+5y=100。

$$3x-3x+3y-5y=30-100$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y-5y=30-100$$

將 3y 加到 -5y。

$$-2y=30-100$$

將 30 加到 -100。

$$-2y=-70$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=35$$

在 3x+5y=100 中以 35 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+5\times 35=100$$

5 乘上 35。

$$3x+175=100$$

從方程式兩邊減去 175。

$$3x=-75$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=-25$$

現已成功解出系統。

$$x=-25,y=35$$