解決{l}{x+y=1}{x-2y=14} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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x+y=1,x-2y=14

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

x+y=1

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

x=-y+1

從方程式兩邊減去 y。

-y+1-2y=14

在另一個方程式 x-2y=14 中以 -y+1 代入 x在方程式。

-3y+1=14

將 -y 加到 -2y。

-3y=13

從方程式兩邊減去 1。

y=-\frac{13}{3}

將兩邊同時除以 -3。

x=-\left(-\frac{13}{3}\right)+1

在 x=-y+1 中以 -\frac{13}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=\frac{13}{3}+1

-1 乘上 -\frac{13}{3}。

x=\frac{16}{3}

將 1 加到 \frac{13}{3}。

x=\frac{16}{3},y=-\frac{13}{3}

現已成功解出系統。

x+y=1,x-2y=14

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 14\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 14\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)

計算。

x=\frac{16}{3},y=-\frac{13}{3}

解出矩陣元素 x 和 y。

x+y=1,x-2y=14

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

x-x+y+2y=1-14

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+y=1 減去 x-2y=14。

y+2y=1-14