解決{l}{x+3y=4}{-2x+y=-22} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 4 } \\ { - 2 x + y = - 22 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=10$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+3y=4,-2x+y=-22$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+3y=4$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$x=-3y+4$$

在另一個方程式 -2x+y=-22 中以 -3y+4 代入 x在方程式。

$$-2\left(-3y+4\right)+y=-22$$

-2 乘上 -3y+4。

$$6y-8+y=-22$$

將 6y 加到 y。

$$7y-8=-22$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$7y=-14$$

將兩邊同時除以 7。

$$y=-2$$

在 x=-3y+4 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-3\left(-2\right)+4$$

-3 乘上 -2。

$$x=6+4$$

將 4 加到 6。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+3y=4,-2x+y=-22$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{1-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-3\left(-2\right)}&\frac{1}{1-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 4-\frac{3}{7}\left(-22\right)\\\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{7}\left(-22\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=10,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+3y=4,-2x+y=-22$$

讓 x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-2x-2\times 3y=-2\times 4,-2x+y=-22$$

化簡。

$$-2x-6y=-8,-2x+y=-22$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x-6y=-8 減去 -2x+y=-22。

$$-2x+2x-6y-y=-8+22$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-6y-y=-8+22$$

將 -6y 加到 -y。

$$-7y=-8+22$$

將 -8 加到 22。

$$-7y=14$$

將兩邊同時除以 -7。

$$y=-2$$

在 -2x+y=-22 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x-2=-22$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$-2x=-20$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=-2$$