解決{l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 新增 2b 至兩側。

$$a+2b=15$$

考慮第二個方程式。 新增 2a 至兩側。

$$2a-5b+2a=15$$

合併 2a 和 2a 以取得 4a。

$$4a-5b=15$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$a+2b=15$$

從方程式兩邊減去 2b。

$$a=-2b+15$$

在另一個方程式 4a-5b=15 中以 -2b+15 代入 a在方程式。

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

4 乘上 -2b+15。

$$-8b+60-5b=15$$

將 -8b 加到 -5b。

$$-13b+60=15$$

從方程式兩邊減去 60。

$$-13b=-45$$

將兩邊同時除以 -13。

$$b=\frac{45}{13}$$

在 a=-2b+15 中以 \frac{45}{13} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

-2 乘上 \frac{45}{13}。

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

將 15 加到 -\frac{90}{13}。

$$a=\frac{105}{13}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 新增 2b 至兩側。

$$a+2b=15$$

考慮第二個方程式。 新增 2a 至兩側。

$$2a-5b+2a=15$$

合併 2a 和 2a 以取得 4a。

$$4a-5b=15$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 新增 2b 至兩側。

$$a+2b=15$$

考慮第二個方程式。 新增 2a 至兩側。

$$2a-5b+2a=15$$

合併 2a 和 2a 以取得 4a。

$$4a-5b=15$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

讓 a 和 4a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

化簡。

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4a+8b=60 減去 4a-5b=15。

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

將 4a 加到 -4a。 4a 和 -4a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8b+5b=60-15$$

將 8b 加到 5b。

$$13b=60-15$$

將 60 加到 -15。

$$13b=45$$

將兩邊同時除以 13。

$$b=\frac{45}{13}$$

在 4a-5b=15 中以 \frac{45}{13} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

-5 乘上 \frac{45}{13}。

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

將 \frac{225}{13} 加到方程式的兩邊。

$$4a=\frac{420}{13}$$

將兩邊同時除以 4。

$$a=\frac{105}{13}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$