解決{l}{a+b=4}{2a-b=1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { a + b = 4 } \\ { 2 a - b = 1 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$b = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$a+b=4,2a-b=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$a+b=4$$

從方程式兩邊減去 b。

$$a=-b+4$$

在另一個方程式 2a-b=1 中以 -b+4 代入 a在方程式。

$$2\left(-b+4\right)-b=1$$

2 乘上 -b+4。

$$-2b+8-b=1$$

將 -2b 加到 -b。

$$-3b+8=1$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-3b=-7$$

將兩邊同時除以 -3。

$$b=\frac{7}{3}$$

在 a=-b+4 中以 \frac{7}{3} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\frac{7}{3}+4$$

將 4 加到 -\frac{7}{3}。

$$a=\frac{5}{3}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$a+b=4,2a-b=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$a+b=4,2a-b=1$$

讓 a 和 2a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2a+2b=2\times 4,2a-b=1$$

化簡。

$$2a+2b=8,2a-b=1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2a+2b=8 減去 2a-b=1。

$$2a-2a+2b+b=8-1$$

將 2a 加到 -2a。 2a 和 -2a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2b+b=8-1$$

將 2b 加到 b。

$$3b=8-1$$

將 8 加到 -1。

$$3b=7$$

將兩邊同時除以 3。

$$b=\frac{7}{3}$$

在 2a-b=1 中以 \frac{7}{3} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$2a-\frac{7}{3}=1$$

將 \frac{7}{3} 加到方程式的兩邊。

$$2a=\frac{10}{3}$$

將兩邊同時除以 2。

$$a=\frac{5}{3}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$