解 x、y
x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20}
y=\frac{56+4I-\pi I}{3I+20}
I\neq -\frac{20}{3}
圖表
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\frac{I}{2}x+5y=14,-2x+3y+\pi =4
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
\frac{I}{2}x+5y=14
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
\frac{I}{2}x=-5y+14
從方程式兩邊減去 5y。
x=\frac{2}{I}\left(-5y+14\right)
將兩邊同時除以 \frac{I}{2}。
x=\left(-\frac{10}{I}\right)y+\frac{28}{I}
\frac{2}{I} 乘上 -5y+14。
-2\left(\left(-\frac{10}{I}\right)y+\frac{28}{I}\right)+3y+\pi =4
在另一個方程式 -2x+3y+\pi =4 中以 \frac{2\left(14-5y\right)}{I} 代入 x在方程式。
\frac{20}{I}y-\frac{56}{I}+3y+\pi =4
-2 乘上 \frac{2\left(14-5y\right)}{I}。
\left(3+\frac{20}{I}\right)y-\frac{56}{I}+\pi =4
將 \frac{20y}{I} 加到 3y。
\left(3+\frac{20}{I}\right)y+\pi -\frac{56}{I}=4
將 -\frac{56}{I} 加到 \pi 。
\left(3+\frac{20}{I}\right)y=4-\pi +\frac{56}{I}
從方程式兩邊減去 \pi -\frac{56}{I}。
y=\frac{56+4I-\pi I}{3I+20}
將兩邊同時除以 3+\frac{20}{I}。
x=\left(-\frac{10}{I}\right)\times \frac{56+4I-\pi I}{3I+20}+\frac{28}{I}
在 x=\left(-\frac{10}{I}\right)y+\frac{28}{I} 中以 \frac{56-I\pi +4I}{20+3I} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-\frac{10\left(56+4I-\pi I\right)}{I\left(3I+20\right)}+\frac{28}{I}
-\frac{10}{I} 乘上 \frac{56-I\pi +4I}{20+3I}。
x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20}
將 \frac{28}{I} 加到 -\frac{10\left(56-I\pi +4I\right)}{I\left(20+3I\right)}。
x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20},y=\frac{56+4I-\pi I}{3I+20}
現已成功解出系統。
\frac{I}{2}x+5y=14,-2x+3y+\pi =4
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{I}{2}\times 3-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{\frac{I}{2}\times 3-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{\frac{I}{2}\times 3-5\left(-2\right)}&\frac{I}{2\left(\frac{I}{2}\times 3-5\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3I+20}&-\frac{10}{3I+20}\\\frac{4}{3I+20}&\frac{I}{3I+20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3I+20}\times 14+\left(-\frac{10}{3I+20}\right)\left(4-\pi \right)\\\frac{4}{3I+20}\times 14+\frac{I}{3I+20}\left(4-\pi \right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20}\\\frac{56+4I-\pi I}{3I+20}\end{matrix}\right)
計算。
x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20},y=\frac{56+4I-\pi I}{3I+20}
解出矩陣元素 x 和 y。
\frac{I}{2}x+5y=14,-2x+3y+\pi =4
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-2\times \frac{I}{2}x-2\times 5y=-2\times 14,\frac{I}{2}\left(-2\right)x+\frac{I}{2}\times 3y+\frac{I}{2}\pi =\frac{I}{2}\times 4
讓 \frac{Ix}{2} 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{2}I。
\left(-I\right)x-10y=-28,\left(-I\right)x+\frac{3I}{2}y+\frac{\pi I}{2}=2I
化簡。
\left(-I\right)x+Ix-10y+\left(-\frac{3I}{2}\right)y-\frac{\pi I}{2}=-28-2I
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \left(-I\right)x-10y=-28 減去 \left(-I\right)x+\frac{3I}{2}y+\frac{\pi I}{2}=2I。
-10y+\left(-\frac{3I}{2}\right)y-\frac{\pi I}{2}=-28-2I
將 -Ix 加到 Ix。 -Ix 和 Ix 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\left(-\frac{3I}{2}-10\right)y-\frac{\pi I}{2}=-28-2I
將 -10y 加到 -\frac{3Iy}{2}。
\left(-\frac{3I}{2}-10\right)y-\frac{\pi I}{2}=-2I-28
將 -28 加到 -2I。
\left(-\frac{3I}{2}-10\right)y=\frac{\pi I}{2}-2I-28
將 \frac{I\pi }{2} 加到方程式的兩邊。
y=-\frac{\pi I-4I-56}{3I+20}
將兩邊同時除以 -10-\frac{3I}{2}。
-2x+3\left(-\frac{\pi I-4I-56}{3I+20}\right)+\pi =4
在 -2x+3y+\pi =4 中以 -\frac{-56-4I+I\pi }{20+3I} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
-2x-\frac{3\left(\pi I-4I-56\right)}{3I+20}+\pi =4
3 乘上 -\frac{-56-4I+I\pi }{20+3I}。
-2x+\frac{4\left(3I+5\pi +42\right)}{3I+20}=4
將 -\frac{3\left(-56-4I+I\pi \right)}{20+3I} 加到 \pi 。
-2x=-\frac{4\left(5\pi +22\right)}{3I+20}
從方程式兩邊減去 \frac{4\left(5\pi +3I+42\right)}{20+3I}。
x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20}
將兩邊同時除以 -2。
x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20},y=-\frac{\pi I-4I-56}{3I+20}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}