解決{l}{8x+3y=5}{3x+2y=70} |Microsoft數學求解器

解 x、y

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8x+3y=5,3x+2y=70

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

8x+3y=5

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

8x=-3y+5

從方程式兩邊減去 3y。

x=\frac{1}{8}\left(-3y+5\right)

將兩邊同時除以 8。

x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}

\frac{1}{8} 乘上 -3y+5。

3\left(-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8}\right)+2y=70

在另一個方程式 3x+2y=70 中以 \frac{-3y+5}{8} 代入 x在方程式。

-\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}+2y=70

3 乘上 \frac{-3y+5}{8}。

\frac{7}{8}y+\frac{15}{8}=70

將 -\frac{9y}{8} 加到 2y。

\frac{7}{8}y=\frac{545}{8}

從方程式兩邊減去 \frac{15}{8}。

y=\frac{545}{7}

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{8}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

x=-\frac{3}{8}\times \frac{545}{7}+\frac{5}{8}

在 x=-\frac{3}{8}y+\frac{5}{8} 中以 \frac{545}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=-\frac{1635}{56}+\frac{5}{8}

-\frac{3}{8} 乘上 \frac{545}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

x=-\frac{200}{7}

將 \frac{5}{8} 與 -\frac{1635}{56} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}

現已成功解出系統。

8x+3y=5,3x+2y=70

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{8\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{8\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{8\times 2-3\times 3}&\frac{8}{8\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 5-\frac{3}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 5+\frac{8}{7}\times 70\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{200}{7}\\\frac{545}{7}\end{matrix}\right)

計算。

x=-\frac{200}{7},y=\frac{545}{7}

解出矩陣元素 x 和 y。

8x+3y=5,3x+2y=70

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

3\times 8x+3\times 3y=3\times 5,8\times 3x+8\times 2y=8\times 70

讓 8x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 8。

24x+9y=15,24x+16y=560

化簡。

24x-24x+9y-16y=15-560