解決{l}{7x+5y=-3}{-9x+y=-11} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = - 3 } \\ { - 9 x + y = - 11 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x+5y=-3$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$7x=-5y-3$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y-3\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 -5y-3。

$$x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}$$

在另一個方程式 -9x+y=-11 中以 \frac{-5y-3}{7} 代入 x在方程式。

$$-9\left(-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}\right)+y=-11$$

-9 乘上 \frac{-5y-3}{7}。

$$\frac{45}{7}y+\frac{27}{7}+y=-11$$

將 \frac{45y}{7} 加到 y。

$$\frac{52}{7}y+\frac{27}{7}=-11$$

從方程式兩邊減去 \frac{27}{7}。

$$\frac{52}{7}y=-\frac{104}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{52}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-2$$

在 x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{7}\left(-2\right)-\frac{3}{7}$$

-\frac{5}{7} 乘上 -2。

$$x=\frac{10-3}{7}$$

將 -\frac{3}{7} 與 \frac{10}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{7-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{7-5\left(-9\right)}&\frac{7}{7-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}&-\frac{5}{52}\\\frac{9}{52}&\frac{7}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}\left(-3\right)-\frac{5}{52}\left(-11\right)\\\frac{9}{52}\left(-3\right)+\frac{7}{52}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

讓 7x 和 -9x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$-9\times 7x-9\times 5y=-9\left(-3\right),7\left(-9\right)x+7y=7\left(-11\right)$$

化簡。

$$-63x-45y=27,-63x+7y=-77$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -63x-45y=27 減去 -63x+7y=-77。

$$-63x+63x-45y-7y=27+77$$

將 -63x 加到 63x。 -63x 和 63x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-45y-7y=27+77$$

將 -45y 加到 -7y。

$$-52y=27+77$$

將 27 加到 77。

$$-52y=104$$

將兩邊同時除以 -52。

$$y=-2$$

在 -9x+y=-11 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-9x-2=-11$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$-9x=-9$$

將兩邊同時除以 -9。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-2$$