解決{l}{6x-6y=-30}{-10x+6y=22} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 6 y = - 30 } \\ { - 10 x + 6 y = 22 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=7$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x-6y=-30$$

將 6y 加到方程式的兩邊。

$$6x=6y-30$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(6y-30\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 -30+6y。

$$x=y-5$$

在另一個方程式 -10x+6y=22 中以 y-5 代入 x在方程式。

$$-10\left(y-5\right)+6y=22$$

-10 乘上 y-5。

$$-10y+50+6y=22$$

將 -10y 加到 6y。

$$-4y+50=22$$

從方程式兩邊減去 50。

$$-4y=-28$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=7$$

在 x=y-5 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=7-5$$

將 -5 加到 7。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=7$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}&-\frac{-6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}&\frac{6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{12}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-30\right)-\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{5}{12}\left(-30\right)-\frac{1}{4}\times 22\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=7$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

讓 6x 和 -10x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -10，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$-10\times 6x-10\left(-6\right)y=-10\left(-30\right),6\left(-10\right)x+6\times 6y=6\times 22$$

化簡。

$$-60x+60y=300,-60x+36y=132$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -60x+60y=300 減去 -60x+36y=132。

$$-60x+60x+60y-36y=300-132$$

將 -60x 加到 60x。 -60x 和 60x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$60y-36y=300-132$$

將 60y 加到 -36y。

$$24y=300-132$$

將 300 加到 -132。

$$24y=168$$

將兩邊同時除以 24。

$$y=7$$

在 -10x+6y=22 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-10x+6\times 7=22$$

6 乘上 7。

$$-10x+42=22$$

從方程式兩邊減去 42。

$$-10x=-20$$

將兩邊同時除以 -10。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=7$$