解決{l}{5y=-13-4x}{3x+6y=13} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y = - 13 - 4 x } \\ { 3 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x = -\frac{143}{9} = -15\frac{8}{9} \approx -15.888888889$$

$$y = \frac{91}{9} = 10\frac{1}{9} \approx 10.111111111$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 新增 4x 至兩側。

$$5y+4x=-13$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$5y+4x=-13$$

從方程式兩邊減去 4x。

$$5y=-4x-13$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=\frac{1}{5}\left(-4x-13\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -4x-13。

$$y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}$$

在另一個方程式 6y+3x=13 中以 \frac{-4x-13}{5} 代入 y在方程式。

$$6\left(-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}\right)+3x=13$$

6 乘上 \frac{-4x-13}{5}。

$$-\frac{24}{5}x-\frac{78}{5}+3x=13$$

將 -\frac{24x}{5} 加到 3x。

$$-\frac{9}{5}x-\frac{78}{5}=13$$

將 \frac{78}{5} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{9}{5}x=\frac{143}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{9}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=-\frac{143}{9}$$

在 y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5} 中以 -\frac{143}{9} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{143}{9}\right)-\frac{13}{5}$$

-\frac{4}{5} 乘上 -\frac{143}{9} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$y=\frac{572}{45}-\frac{13}{5}$$

將 -\frac{13}{5} 與 \frac{572}{45} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y=\frac{91}{9}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 新增 4x 至兩側。

$$5y+4x=-13$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-13\right)+\frac{4}{9}\times 13\\\frac{2}{3}\left(-13\right)-\frac{5}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{9}\\-\frac{143}{9}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 新增 4x 至兩側。

$$5y+4x=-13$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

讓 5y 和 6y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$6\times 5y+6\times 4x=6\left(-13\right),5\times 6y+5\times 3x=5\times 13$$

化簡。

$$30y+24x=-78,30y+15x=65$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 30y+24x=-78 減去 30y+15x=65。

$$30y-30y+24x-15x=-78-65$$

將 30y 加到 -30y。 30y 和 -30y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$24x-15x=-78-65$$

將 24x 加到 -15x。

$$9x=-78-65$$

將 -78 加到 -65。

$$9x=-143$$

將兩邊同時除以 9。

$$x=-\frac{143}{9}$$

在 6y+3x=13 中以 -\frac{143}{9} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$6y+3\left(-\frac{143}{9}\right)=13$$

3 乘上 -\frac{143}{9}。

$$6y-\frac{143}{3}=13$$

將 \frac{143}{3} 加到方程式的兩邊。

$$6y=\frac{182}{3}$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=\frac{91}{9}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$