解決{l}{5x-3y=2}{4x+7y=-3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-3y=2$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$5x=3y+2$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 3y+2。

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

在另一個方程式 4x+7y=-3 中以 \frac{3y+2}{5} 代入 x在方程式。

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y=-3$$

4 乘上 \frac{3y+2}{5}。

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y=-3$$

將 \frac{12y}{5} 加到 7y。

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}=-3$$

從方程式兩邊減去 \frac{8}{5}。

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{47}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{23}{47}$$

在 x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} 中以 -\frac{23}{47} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

\frac{3}{5} 乘上 -\frac{23}{47} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

將 \frac{2}{5} 與 -\frac{69}{235} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{5}{47}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

讓 5x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 2,5\times 4x+5\times 7y=5\left(-3\right)$$

化簡。

$$20x-12y=8,20x+35y=-15$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 20x-12y=8 減去 20x+35y=-15。

$$20x-20x-12y-35y=8+15$$

將 20x 加到 -20x。 20x 和 -20x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-12y-35y=8+15$$

將 -12y 加到 -35y。

$$-47y=8+15$$

將 8 加到 15。

$$-47y=23$$

將兩邊同時除以 -47。

$$y=-\frac{23}{47}$$

在 4x+7y=-3 中以 -\frac{23}{47} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)=-3$$

7 乘上 -\frac{23}{47}。

$$4x-\frac{161}{47}=-3$$

將 \frac{161}{47} 加到方程式的兩邊。

$$4x=\frac{20}{47}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{5}{47}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$