解決{l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=413.000} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 413.000 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=51$$

$$y=65$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+3y=450$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$5x=-3y+450$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -3y+450。

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

在另一個方程式 3x+4y=413 中以 -\frac{3y}{5}+90 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=413$$

3 乘上 -\frac{3y}{5}+90。

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=413$$

將 -\frac{9y}{5} 加到 4y。

$$\frac{11}{5}y+270=413$$

從方程式兩邊減去 270。

$$\frac{11}{5}y=143$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{11}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=65$$

在 x=-\frac{3}{5}y+90 中以 65 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{5}\times 65+90$$

-\frac{3}{5} 乘上 65。

$$x=-39+90$$

將 90 加到 -39。

$$x=51$$

現已成功解出系統。

$$x=51,y=65$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 413\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 413\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\65\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=51,y=65$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

讓 5x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 413$$

化簡。

$$15x+9y=1350,15x+20y=2065$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x+9y=1350 減去 15x+20y=2065。

$$15x-15x+9y-20y=1350-2065$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$9y-20y=1350-2065$$

將 9y 加到 -20y。

$$-11y=1350-2065$$

將 1350 加到 -2065。

$$-11y=-715$$

將兩邊同時除以 -11。

$$y=65$$

在 3x+4y=413 中以 65 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+4\times 65=413$$

4 乘上 65。

$$3x+260=413$$

從方程式兩邊減去 260。

$$3x=153$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=51$$

現已成功解出系統。

$$x=51,y=65$$