解決{l}{5x+2y=3}{7y+12x=2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 3 } \\ { 7 y + 12 x = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{17}{11} = 1\frac{6}{11} \approx 1.545454545$$

$$y = -\frac{26}{11} = -2\frac{4}{11} \approx -2.363636364$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+2y=3$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$5x=-2y+3$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+3\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -2y+3。

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}$$

在另一個方程式 12x+7y=2 中以 \frac{-2y+3}{5} 代入 x在方程式。

$$12\left(-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}\right)+7y=2$$

12 乘上 \frac{-2y+3}{5}。

$$-\frac{24}{5}y+\frac{36}{5}+7y=2$$

將 -\frac{24y}{5} 加到 7y。

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=2$$

從方程式兩邊減去 \frac{36}{5}。

$$\frac{11}{5}y=-\frac{26}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{11}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{26}{11}$$

在 x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5} 中以 -\frac{26}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{26}{11}\right)+\frac{3}{5}$$

-\frac{2}{5} 乘上 -\frac{26}{11} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{52}{55}+\frac{3}{5}$$

將 \frac{3}{5} 與 \frac{52}{55} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{17}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-2\times 12}&-\frac{2}{5\times 7-2\times 12}\\-\frac{12}{5\times 7-2\times 12}&\frac{5}{5\times 7-2\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{12}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 2\\-\frac{12}{11}\times 3+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{11}\\-\frac{26}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

讓 5x 和 12x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 12，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$12\times 5x+12\times 2y=12\times 3,5\times 12x+5\times 7y=5\times 2$$

化簡。

$$60x+24y=36,60x+35y=10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 60x+24y=36 減去 60x+35y=10。

$$60x-60x+24y-35y=36-10$$

將 60x 加到 -60x。 60x 和 -60x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$24y-35y=36-10$$

將 24y 加到 -35y。

$$-11y=36-10$$

將 36 加到 -10。

$$-11y=26$$

將兩邊同時除以 -11。

$$y=-\frac{26}{11}$$

在 12x+7y=2 中以 -\frac{26}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$12x+7\left(-\frac{26}{11}\right)=2$$

7 乘上 -\frac{26}{11}。

$$12x-\frac{182}{11}=2$$

將 \frac{182}{11} 加到方程式的兩邊。

$$12x=\frac{204}{11}$$

將兩邊同時除以 12。

$$x=\frac{17}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$