解決{l}{5x+2y=10}{4x+y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 10 } \\ { 4 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+2y=10$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$5x=-2y+10$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+10\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -2y+10。

$$x=-\frac{2}{5}y+2$$

在另一個方程式 4x+y=8 中以 -\frac{2y}{5}+2 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{2}{5}y+2\right)+y=8$$

4 乘上 -\frac{2y}{5}+2。

$$-\frac{8}{5}y+8+y=8$$

將 -\frac{8y}{5} 加到 y。

$$-\frac{3}{5}y+8=8$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-\frac{3}{5}y=0$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{3}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=0$$

在 x=-\frac{2}{5}y+2 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{5}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 10+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{4}{3}\times 10-\frac{5}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

讓 5x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$4\times 5x+4\times 2y=4\times 10,5\times 4x+5y=5\times 8$$

化簡。

$$20x+8y=40,20x+5y=40$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 20x+8y=40 減去 20x+5y=40。

$$20x-20x+8y-5y=40-40$$

將 20x 加到 -20x。 20x 和 -20x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8y-5y=40-40$$

將 8y 加到 -5y。

$$3y=40-40$$

將 40 加到 -40。

$$3y=0$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=0$$

在 4x+y=8 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x=8$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=0$$