解決{l}{5u+x=-10}{3u+3x=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 5 u + x = - 10 } \\ { 3 u + 3 x = 0 } \end{array} \right.$$

解 u、x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$u = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 u: 將 u 單獨置於等號的左邊。

$$5u+x=-10$$

從方程式兩邊減去 x。

$$5u=-x-10$$

將兩邊同時除以 5。

$$u=\frac{1}{5}\left(-x-10\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -x-10。

$$u=-\frac{1}{5}x-2$$

在另一個方程式 3u+3x=0 中以 -\frac{x}{5}-2 代入 u在方程式。

$$3\left(-\frac{1}{5}x-2\right)+3x=0$$

3 乘上 -\frac{x}{5}-2。

$$-\frac{3}{5}x-6+3x=0$$

將 -\frac{3x}{5} 加到 3x。

$$\frac{12}{5}x-6=0$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$\frac{12}{5}x=6$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{12}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=\frac{5}{2}$$

在 u=-\frac{1}{5}x-2 中以 \frac{5}{2} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 u。

$$u=-\frac{1}{5}\times \frac{5}{2}-2$$

-\frac{1}{5} 乘上 \frac{5}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$u=-\frac{1}{2}-2$$

將 -2 加到 -\frac{1}{2}。

$$u=-\frac{5}{2}$$

現已成功解出系統。

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3}&-\frac{1}{5\times 3-3}\\-\frac{3}{5\times 3-3}&\frac{5}{5\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 u 和 x。

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

讓 5u 和 3u 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$3\times 5u+3x=3\left(-10\right),5\times 3u+5\times 3x=0$$

化簡。

$$15u+3x=-30,15u+15x=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15u+3x=-30 減去 15u+15x=0。

$$15u-15u+3x-15x=-30$$

將 15u 加到 -15u。 15u 和 -15u 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3x-15x=-30$$

將 3x 加到 -15x。

$$-12x=-30$$

將兩邊同時除以 -12。

$$x=\frac{5}{2}$$

在 3u+3x=0 中以 \frac{5}{2} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 u。

$$3u+3\times \frac{5}{2}=0$$

3 乘上 \frac{5}{2}。

$$3u+\frac{15}{2}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{15}{2}。

$$3u=-\frac{15}{2}$$

將兩邊同時除以 3。

$$u=-\frac{5}{2}$$

現已成功解出系統。

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$